Karmaşık Sayı - Delinetciler Portal
+ Hemen Yorum Yap

Karmaşık Sayı

  1. Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
    Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup özelliğini sağlayan sanal birime denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde yerine, kullanılır.

    Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.


    Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.


    Eklenmiş Dosya
  2. 2010-05-24 #2
    Karmaşık Sayı
    Vikipedi, özgür ansiklopedi

    Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
    17 - Karmaşık Sayı Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup 18 - Karmaşık Sayı özelliğini sağlayan sanal birime 19 - Karmaşık Sayı denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde 19 - Karmaşık Sayı yerine, 20 - Karmaşık Sayı kullanılır.

    Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı 21 - Karmaşık Sayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

    Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

    22 - Karmaşık Sayı

    Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. 23 - Karmaşık Sayı21 - Karmaşık Sayı uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, 72 - Karmaşık Sayı uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla 21 - Karmaşık Sayı uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

    Tanım

    Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, 21 - Karmaşık Sayı. Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

    Kartezyen uzay tanımı

    Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı 19 - Karmaşık Sayı ile çarparsak elde ettiğimiz 24 - Karmaşık Sayı kümesi önceki 72 - Karmaşık Sayı

    25 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer 72 - Karmaşık Sayı13 - Karmaşık Sayı alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

    Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: 26 - Karmaşık Sayı olmak üzere;

    z = (a,b)

    Burada açıkça Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

    Cisim genişlemesi tanımı

    Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. 19 - Karmaşık Sayı sayısı x2 + 1polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de 27 - Karmaşık Sayı olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

    28 - Karmaşık Sayı

    Bu durumda

    29 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının x2 + 1 polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

    30 - Karmaşık Sayı

    Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü 19 - Karmaşık Sayı karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının 31 - Karmaşık Sayı olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

    Matris (dizey) tanımı

    Karmaşık sayıları, gerçel katsayılı 2x2'lik matrislerin bir altkümesi olarak düşünebiliriz. Birim sayıları

    32 - Karmaşık Sayı ve 33 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı

    34 - Karmaşık Sayı

    olarak ifade edilebilir ki burada a,b 35 - Karmaşık Sayı alınmıştır. Kaldı ki

    36 - Karmaşık Sayı

    olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar

    37 - Karmaşık Sayı

    şeklinde tanımlanmış olur.

    Karmaşık sayılarda işlem

    Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

    Eşitlik

    Bir 38 - Karmaşık Sayı ve 39 - Karmaşık Sayı karmaşık sayıları için

    z = w ancak a = c ve b = d iken geçerlidir.

    Toplama

    Bir 38 - Karmaşık Sayı ve 39 - Karmaşık Sayı karmaşık sayıları için

    40 - Karmaşık Sayı

    Çarpma

    Bir 38 - Karmaşık Sayı ve 39 - Karmaşık Sayı karmaşık sayıları için

    41 - Karmaşık Sayı

    Eşlenik


    Bir 38 - Karmaşık Sayı karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi 42 - Karmaşık Sayı dönüşümüdür ve

    43 - Karmaşık Sayı

    ya da matrislerde

    44 - Karmaşık Sayı
    olarak tanımlanır.

    Eşleniğin cebirsel özellikleri sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = - 7 olan kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle yerine tamsayılar cismi
    • 45 - Karmaşık Sayı
    • 46 - Karmaşık Sayı
    • 47 - Karmaşık Sayı
    • 48 - Karmaşık Sayı
    • 49 - Karmaşık Sayı ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

    50 - Karmaşık Sayı
    Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.


    Mutlak Değer

    Bir 38 - Karmaşık Sayı karmaşık sayısı için

    51 - Karmaşık Sayı

    ya da

    52 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlıdır.

    Mutlak değerin cebirsel özellikleri
    • 53 - Karmaşık Sayı ancak 54 - Karmaşık Sayı iken geçerlidir.


    • 55 - Karmaşık Sayı (üçgen eşitsizliği)


    • 56 - Karmaşık Sayı

    Çarpımsal Ters

    Bir 38 - Karmaşık Sayı karmaşık sayısının tersi

    57 - Karmaşık Sayı

    olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

    58 - Karmaşık Sayı

    olduğu görülür.

    Bölme

    Bir 38 - Karmaşık Sayı ve 39 - Karmaşık Sayı karmaşık sayıları için

    59 - Karmaşık Sayı



    İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı

    60 - Karmaşık Sayı

    şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede

    61 - Karmaşık Sayı

    iken

    62 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.

    Bu maddede çifte karmaşık sayı,

    63 - Karmaşık Sayı

    olarak gösterilecektir.

    Tanım

    Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme çifte karmaşık sıfatını almıştır.

    İki karmaşık birim sayı tanımı

    İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım: 64 - Karmaşık Sayı ve 65 - Karmaşık Sayı. Her birinin karmaşık birimleri sırasıyla 66 - Karmaşık Sayı ve 67 - Karmaşık Sayı olsun. Bu durumda bu iki birimin çarpımı



    olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

    68 - Karmaşık Sayı

    özelliğini sağlar. O halde bir çifte karmaşık sayı

    69 - Karmaşık Sayı

    olarak ifade edilebilir.

    Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı

    Eğer hiperbolik sayı tanımını

    70 - Karmaşık Sayı

    gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

    71 - Karmaşık Sayı

    şeklinde ifade edilecektir. Burada

    72 - Karmaşık Sayı

    olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

    63 - Karmaşık Sayı

    şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

  Okunma: 1975 - Yorum: 1 - Amp
Kullanıcı Oylaması: /5 -