Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve 26 - Del İşlemcisi simgesiyle gösterilir.


Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney (vektöre) analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde kısmi türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel (vektörel) ve sayıl (skaler) alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.


Tanım

Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

27 - Del İşlemcisiO halde, işlemci
28 - Del İşlemcisiolarak tanımlanmış olur.

Burada 29 - Del İşlemcisi işlemcisi kısmi türev, 30 - Del İşlemcisi'ler de birim yöneydir. i={1,2,3) n boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

31 - Del İşlemcisiolarak genellenebilir. Buradaki ei 'ler birim yöneylerdir ve i=1,2,...,n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

32 - Del İşlemcisişeklinde de gösterilebilir. Tensör gösteriminde F 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

33 - Del İşlemcisiBurada i=1,2,3 alınır.

Örnekler


  • Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: Gradyan, Diverjans, Rotasyonel, Laplasyen.
  • Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. 34 - Del İşlemcisi ve 35 - Del İşlemcisi sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,

36 - Del İşlemcisi37 - Del İşlemcisi38 - Del İşlemcisi39 - Del İşlemcisi

  • Fizikte korunumlu kuvvetler için potensiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir F kuvveti için:

40 - Del İşlemcisiifadesi geçerlidir ki burada Φ göndermesi, eğer F elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer F manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer F kütleçekim kuvveti ise kütleçekim alanıdır.

  • Dalga denkleminde

41 - Del İşlemcisi

  • d'Alembert İşlemcisi

42 - Del İşlemcisi

Özel görelilikte del işlemcisi
Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi, 3-yöneyler Latin harfleriyle (i,j,k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan harfleriyle (α,β,...,μ,ν,... ) gösterilmesi adet olmuştur.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait kısmi türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:
43 - Del İşlemcisiBurada μ = 0,1,2,3 alınır ve c ışıkhızıdır.

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:
44 - Del İşlemcisiBurada μ = 0,1,2,3 alınır.

Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi
Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

45 - Del İşlemcisi46 - Del İşlemcisiBu denklemleri daha da sade yazabiliriz:
47 - Del İşlemcisi48 - Del İşlemcisi

Buradaki 49 - Del İşlemcisi çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.