Olasılık kuramı rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık kuramının ana öğeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak, veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa, incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuc büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.



İstatistik bilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık kuramı, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlanabilmesi için temel esasları oluşturur. Bunun yaninda, olasılık kuramının yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir; (örneğin istatistiksel mekanik). Yirminci yüzyılda fizik biliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunların kuantum mekanik bilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.

Tarihçe

Matematiksel olasılık kuramının tarihsel kökleri 16. yüzyılda Gerolamo Cardano ve 17. yüzyılda Pierre de Fermat ile Blaise Pascal tarafından yapılan şans oyunlarının matematiksel incelemelerine dayanır.


Başlangıçta, olasılık kuramı genellikle ayrık olayları incelemek için geliştirilmiş ve kullanılan yöntemler genellikle tümleşik matematik kurallarına dayandırılmıştır. Fakat giderek matematik analiz görüşleri daha ağır basarak olasılık kuramamına sürekli değişkenlerin incelenmesinin de katılması gerekmiştir. Bu gelişmenin şu andaki en son aşamasının temelleri, Andrey Nikolaevich Kolmogorov tarafından, ölçüm kuramına bağlantili olan modern olasılık kuramı olarak ortaya çıkartılmışstır. Kolmogorov, Richard von Mises tarafından ortaya atılan örneklem uzayıölçüm kuramı kavramları ile birleştirerek 1933'te modern olasılık kuramı için esas olan Kolmogorov aksiyomlarını ortaya atmıştır. Bu gelişme bilim camiası tarafından çabucak, hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık kuramının ana aksiyom sistemi olarak benimsenmiştir.

İnceleme


Olasılık kuramına girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.

Ayrık olasılık dağılımları


Ayrık olasılık kuramı sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örnegin: Zarküp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgale yürüyüş olayları.

Klasik tanım: Olasılık kuramı geliştirilmesinin ilk safhalarında, belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelendiği kabul edilmiş ve incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örnegin, incelenecek sorun "tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir" şeklinde sorulursun. Zar yansiz olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu icin, aranan olasılık


P( 2 veya 4 veya 6 ) =İsim:  f492fd7b5ee723c883f283991edc0416.png
Görüntüleme: 1815
Büyüklük:  331 Byte

olarak bulunur.

Modern tanım: Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir set ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir: İsim:  a8d9059dc1a5c6adb04f4e6067bb86cd.png
Görüntüleme: 1740
Büyüklük:  590 Byte Sonra İsim:  8daf1bcb51d833084c78500c9ae9e871.png
Görüntüleme: 2998
Büyüklük:  340 Byte içinde bulunan her matematik elemana bir olasılık değeri İsim:  550f51512f9bb16a0f613ae65e1d3088.png
Görüntüleme: 1725
Büyüklük:  387 Byte bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinin şu özellikler bulunduğu kabul edilir:

İsim:  8d1d67aa2745f7dc1249b3965aa2060e.png
Görüntüleme: 1932
Büyüklük:  1,0 KB (Kilobyte)

İsim:  dbd6f56929e2c6657e564e3275a537d3.png
Görüntüleme: 1841
Büyüklük:  776 Byte

Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam (1'e) eşit olur. Bir olay İsim:  8bde45b59aab63ce696ccac425309190.png
Görüntüleme: 1701
Büyüklük:  225 Byte örneklem uzayının herhangi bir İsim:  4b88f47f80273fd5788e1e20aa81c38a.png
Görüntüleme: 1673
Büyüklük:  238 Byte altseti olarak tanımlanır. İsim:  4b88f47f80273fd5788e1e20aa81c38a.png
Görüntüleme: 1673
Büyüklük:  238 Byteolayının 'olasılık değeri ise şöyle tanımlanır:

İsim:  8f1c99fb9f42be700d87df7b0b50b4aa.png
Görüntüleme: 1826
Büyüklük:  1,0 KB (Kilobyte)

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur.

Örneklem uzayındaki bir noktayı "olasılık" değerine eşleyen fonksiyona, yani İsim:  550f51512f9bb16a0f613ae65e1d3088.png
Görüntüleme: 1725
Büyüklük:  387 Byteolasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.

Sürekli olasılık dağılımları

Sürekli olasılık kuramı sürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.
Klasik tanım: Sürekli olasılık halleri ile karşılaşınca klasik tanım geçerli olmaz. Bernard'in paradoksu maddesine bakin.

Modern tanım: Eğer örneklem uzayı reel sayılardan oluşursa (yani İsim:  69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png
Görüntüleme: 1741
Büyüklük:  208 Byte ), yığmalı dağılım fonksiyonu adı verilen bir fonsksiyonun var olduğu kabul edilir; bu bir rassal değişken olan XX x sayı değerine eşit veya xden daha düşük olması halindeki olasılığı gösterir.
için P(X\le x) = F(x)\,</math> ifadesini gösterir yani P(X\le x) = F(x)\,</math> rassal değişkenin Yığmalı dağılım fonksiyonu şu özellikleri göstermelidir:


Yığmalı dağılım fonksiyonu şu özellikleri göstermelidir:


1-İsim:  bc352fc10ca296a872b51d91a1132127.png
Görüntüleme: 1732
Büyüklük:  230 Byte monotonik azalma göstermeyen, sağda-sürekli bir fonksiyondur;

2- İsim:  0c8f538f61acf893cfa5885b443dd13f.png
Görüntüleme: 1734
Büyüklük:  728 Byte

3-İsim:  421d0f95572b97b308291bb192866177.png
Görüntüleme: 1674
Büyüklük:  666 Byte


Eğer İsim:  bc352fc10ca296a872b51d91a1132127.png
Görüntüleme: 1732
Büyüklük:  230 Byte fonksiyonun türevi alınabilirse, rassal değişken X için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu

İsim:  e87225e521f8acc5eccc337f740a5c1b.png
Görüntüleme: 1806
Büyüklük:  739 Byte bulunur.


İsim:  b3987ff3bd26a32bf4c34a0ba1f72934.png
Görüntüleme: 1799
Büyüklük:  386 Byte seti için, rassal değişken Xin İsim:  4b88f47f80273fd5788e1e20aa81c38a.png
Görüntüleme: 1673
Büyüklük:  238 Byte seti içinde bulunma olasılığı şöyle tanımlanır:


İsim:  2e0ce1d1b63f8ce5162f0c5ef4209c9f.png
Görüntüleme: 1760
Büyüklük:  1,1 KB (Kilobyte)



Eğer bir olasılık yoğunluk fonksiyonu var ise, bu şöyle ifade edilebilir:


İsim:  63371108706f32e30655d2fbca8e7d1c.png
Görüntüleme: 1741
Büyüklük:  1,2 KB (Kilobyte)



Olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece sürekli rassal değişkenler için var olmakta ise de, yığmalı dağılım fonksiyonu İsim:  6118d65fd7aa30a20a03d961715d33d0.png
Görüntüleme: 1624
Büyüklük:  207 Byte içinde değerleri olan (aralıklı rassal değişkenler dahil) tüm rassal değişken için mevcut bulunmaktadır. Bu kavramlar İsim:  30c28f76ef7517dbd19df4d4c683dbe6.png
Görüntüleme: 1600
Büyüklük:  256 Byte ve diğer sürekli örneklem uzayları için çoklu boyutlu hallere de genelleştirilmiştir.


Ölçüm kuramsal olasılık kuramı

Modern olasılık kuramı yaklaşımı ölçüm kuramı kullanılması suretiyle yapılmakta ve bu kuram olasılık uzayında Kolmogorov aksiyomlarına dayandırılmaktadır. Olasılık uzayı üç kısımdan oluşmustur. Olasılığın bu ölçüm kuramına göre uygulanmasının esas nedeni bu kuramın ayrık ve sürekli değişkenleri birlikte ele alabilmesinden ve aralarindaki farkları kullanılan ölçü ile açıklamasındandır. Bundan başka saf ayrık veya saf sürekli dağılımlar yanında bu iki kategoriye tam uymayan dağılımları da inceleme imkânı sağlamaktadır.

Herhangi bir set Ω verilsin ve bu örneklem uzayı olarak da anılmaktadır. Bu set üzerinde bir sigma-cebiri ile İsim:  96f887381f6dc2d258d33fe1b2a97b66.png
Görüntüleme: 2035
Büyüklük:  214 Byte bulunsun; bir ölçüm Pnin bir olasılık ölçümü olarak adlandırması ancak ve ancak şu koşullar altında mümkün olur:

1- İsim:  8a140337171d690f8dd0eebd94448bf0.png
Görüntüleme: 1601
Büyüklük:  228 Byte non-negatifdir;
2-İsim:  1bff1189293ca363de6ec84dc5b4d457.png
Görüntüleme: 1618
Büyüklük:  483 Byte

Eğer İsim:  96f887381f6dc2d258d33fe1b2a97b66.png
Görüntüleme: 2035
Büyüklük:  214 Byte bir Borel σ-cebiri ise o halde herhangi bir yığmalı dağılım fonksiyonu İsim:  96f887381f6dc2d258d33fe1b2a97b66.png
Görüntüleme: 2035
Büyüklük:  214 Byte üzerinde tek ve tek bir olasılık olcumu bulunur ve bunun aksi önerim de doğrudur. Bu ölçüm ayrık değişkenler için olasılık kütle fonksiyonu ve sürekli değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonuİsim:  96f887381f6dc2d258d33fe1b2a97b66.png
Görüntüleme: 2035
Büyüklük:  214 Byte içinde İsim:  4b88f47f80273fd5788e1e20aa81c38a.png
Görüntüleme: 1673
Büyüklük:  238 Byte seti için olasılık şöyle tanımlanır:

İsim:  2e0ce1d1b63f8ce5162f0c5ef4209c9f.png
Görüntüleme: 1760
Büyüklük:  1,1 KB (Kilobyte)


Burada entegrasyon İsim:  bc352fc10ca296a872b51d91a1132127.png
Görüntüleme: 1732
Büyüklük:  230 Byte tarafından ortaya çıkartılan ölçüye göredir.