Belirtisiz küme (veya bulanık küme) kavramı, küme kavramının eleman olmanın derecelendirilmesine dayanan bir genelleştirilmesidir. Belirtisiz kümeler belirtisiz mantığın doğal bir genişlemesi olarak 1965 yılında A. Zadeh tarafından tanımlanmıştır. Bir nesne bir kümenin ya elemanı ya da elemanı değilken, bir belirtisiz kümenin belirli bir oranda kısmen elemanı olabilir.


Tanım

X boştan farklı bir evrensel küme olarak seçilsin. Bir 16 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme fonksiyonuna X üzerinde bir belirtisiz küme adı verilir.


Belirtisiz küme farklı şekillerde de tanımlanabilir ancak kümenin her nokta için [0,1] kapalı aralığında bulunan bir üyelik değerine sahip olmasını anlatması bakımından bu tanımların hepsi birbirine denktir.

Bir x∈X elemanı için A(x) değerine x'in A'daki elemanlık derecesi denir. Bu değer kimi zaman μA(x) ile de gösterilir. A(x) = 1 olması klasik küme anlamında x 'in A 'nın elemanı olması, A(x) = 0 olması ise klasik kümelerdeki x 'in A 'nın elemanı olmaması durumuna denk gelir.

Eğer bir x için A(x) = α ise x∈αA yazılır ve x 'in A belirtisiz kümesinin α derecesinde elemanı olduğu söylenir.


Örneğin A(x) = 0,5 yani x∈0,5A olması x 'in A 'nın yarı yarıya elemanı olması şeklinde yorumlanır. ∈1 klasik ∈, ∈0 klasik ∉ sembolüne karşılık gelir.

Belirtisiz alt küme


A ve B boş olmayan bir X kümesi üzerinde iki belirtisiz küme olsun. Her 17 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme için 18 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme oluyorsa 19 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme veya 20 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme yazılır ve A 'nın B 'nin bir belirtisiz alt kümesi olduğu söylenir.

A ve B belirtisiz kümelerinin eşitliği, her x ∈ X için A(x) = B(x) olmasıyla tanımlanır. Buna göre A'nın B'ye eşit olması aynı zamanda hem 19 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme hem de 21 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme olması demektir.


X üzerindeki bütün belirtisiz kümeler her x∈X için X(x) = 1 ile tanımlanan X belirtisiz kümesinin alt kümesiyken, her x∈X için 22 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme ile tanımlanan 23 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme belirtisiz kümesi X'teki bütün belirtisiz kümelerin alt kümesidir. Bazen X ve 23 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme sembolleri yerine sırasıyla 1X ve 0X veya kısaca 1 ve 0 kullanılır.


Belirtisiz kümeler üzerinde işlemler


Kümeler için tanımlı olan birleşim, kesişim, tümleme, kartezyen çarpım gibi işlemlerin tümü belirtisiz kümeler üzerine de taşınabilir.

İki belirtisiz kümenin birleşimi 24 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme veya 25 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her x∈X için 26 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme olarak tanımlanır.


İki belirtisiz kümenin kesişimi ise 27 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme veya 28 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her x∈X için 29 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme olarak tanımlanır.


A ve B sırasıyla X ve Y kümeleri üzerinde belirtisiz kümeler ise 30 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme de 31 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme üzerinde bir belirtisiz kümedir ve her 32 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme için 33 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme şeklinde tanımlanır.



İki küme için tanımlanan bu işlemler maksimum ve minimum yerine sırasıyla supremum ve infimum alınarak herhangi sayıdaki belirtisiz kümeler ailesine genişletilebilir.

A belirtisiz kümesinin tümleyeni Ac veya A' ile gösterilir ve her x∈A için Ac(x) = 1 - A(x)A belirtisiz kümesi için 34 - Belirtisiz Küme - Bulanık Küme
formülüyle belirlenir. Klasik kümelerden farklı olarak bir olması mümkündür.