[ARWEN]

BİNOM AÇILIMI

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla

(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr +.....+C (n,n)yn

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...............................(x+y)0

1 1 ...........................(x+y)1

1 2 1 ......................(x+y)2

1 3 3 1 ...................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

Sonuçlar :

Açılımda n+1 tane terim vardır.
Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n'dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) x n-r yr' de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n' dir.
Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2 n
olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.

4. Açılım x'in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,

C(n,r) xn-r yr 'dir.

(x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x'in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn 'dir.