Türev Konu Anlatımı

 Türev Konu Anlatımı

  Okunma: 14496 - Yorum: 2
  1. #1
    Türev , diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin


    Birinci tanımı(h türev)

    74 - Türev Konu Anlatımı =75 - Türev Konu Anlatımı

    limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.
    76 - Türev Konu Anlatımı



    Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır.

    Burada :77 - Türev Konu Anlatımı ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.


    Türevin birinci tanımını örnekleyerek bir ikinci tanım daha yapabiliriz.


    77 - Türev Konu Anlatımı ifadesinin mantığında {h}sonsuz küçüğünü ekleme işlem yapılmıştır,oysaki tanımı genelleştirebilmek mümkün;şöyleki sonsuz küçük artırımı yerine sonsuz küçük katının artırımıda yapılabilir.


    İkinci tanımı(q türev)


    Bir f(x) fonksiyonunu q türevi
    78 - Türev Konu Anlatımı sıklıkla Dqf(x) şeklinde yazılır, q-türev Jacksen türevi olarak bilinir.



    79 - Türev Konu Anlatımı 75 - Türev Konu Anlatımı= 79 - Türev Konu Anlatımı ayrıca;



    80 - Türev Konu Anlatımı= 81 - Türev Konu Anlatımı elde edilebilir.

    Türev Alma

    Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca


    82 - Türev Konu Anlatımı formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır.


    Kesirli türev alma


    83 - Türev Konu Anlatımı 45 - Türev Konu Anlatımı


    fonksiyon f(x) = x(mavi eğri) için yarı türev (mor eğri) ve birinci türev (kırmızı eğri).


    f(x) tek terimli varsayalım 84 - Türev Konu Anlatımı Burada kullanılan türev


    85 - Türev Konu Anlatımı tekrarlana türev şu sonucu verir


    86 - Türev Konu Anlatımı


    faktöriyel yerine Gama fonksiyonu'nu alalım


    87 - Türev Konu Anlatımı


    x'
    in yarı türevi


    88 - Türev Konu Anlatımı


    Bu durumu tekrarlarsak


    89 - Türev Konu Anlatımı Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır.
    90 - Türev Konu Anlatımı

    Burdaki türev alma işlemi sadece gerçel sayılarla sınırlı değildir örneğin, (1+i)inci türev , (1-i)inci türev iki türevlidir. ancak negatif değerler için alınan a integrali verir.


    Kısmi Türev


    Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.


    Tanım


    91 - Türev Konu Anlatımı

    z = f(x1,x2,...,xm,...,xn)
    biciminde tanimlanan n tane bagimsiz degişkene bagli surekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki Δxm degisimine karşılık fonksiyonun değişim hızı


    92 - Türev Konu Anlatımı


    Δxm = h



    93 - Türev Konu Anlatımı


    ifadesine z fonksiyonunun xm değişkenine göre kısmi türevi denir.
    94 - Türev Konu Anlatımı
    şeklinde gösterilir.

    95 - Türev Konu Anlatımı ise;


    96 - Türev Konu Anlatımı


    97 - Türev Konu Anlatımı


    Örnek:
    98 - Türev Konu Anlatımı


    Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri


    • Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için f(x) = xn fonksiyonu,

    99 - Türev Konu Anlatımı Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )



    • sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

    100 - Türev Konu Anlatımı
    • ex fonksiyonu,

    101 - Türev Konu Anlatımı

    Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar


    • Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan

    102 - Türev Konu Anlatımı limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

    • 103 - Türev Konu Anlatımı fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni

    104 - Türev Konu Anlatımı limitinin 105 - Türev Konu Anlatımı, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, 103 - Türev Konu Anlatımı fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.
    Temel Teoremler

    Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

    • (f + g)'(a) = f'(a)+ g'(cf)'(a) = cf'(a),


    • (fg)'(a) = f'(a)g(a) + g'(a)f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),


    • (f o g)'(a) = f'(g(a)) x g'(a) (Zincir kuralı olarak bilinir).


    • (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - g'(a)f(a)]/g²(a) (Fark Kuralı),

    Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.
    Genellemeler


    • Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.


    • Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.


    • Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir.

    Türevin uygulamaları


    • f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.


    • Hesabın temel teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.


    • Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.


    • Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.


    • Matematiğin diferansiyel geometri ve diferansiyel topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

    Çarpım ve Bölüm Fonksiyonlarının Türevi


    • Çarpım Fonksiyonunun Türevi

    1 - Türev Konu Anlatımı olsun
    2 - Türev Konu Anlatımı'dir


    İspat:
    1 - Türev Konu Anlatımı
    3 - Türev Konu Anlatımı
    4 - Türev Konu Anlatımı
    5 - Türev Konu Anlatımı
    6 - Türev Konu Anlatımı
    7 - Türev Konu Anlatımı
    8 - Türev Konu Anlatımı
    9 - Türev Konu Anlatımı
    10 - Türev Konu Anlatımı
    11 - Türev Konu Anlatımı
    12 - Türev Konu Anlatımı
    13 - Türev Konu Anlatımı
    2 - Türev Konu Anlatımı


    • Bölüm Fonksiyonunun Türevi

    14 - Türev Konu Anlatımı olsun
    15 - Türev Konu Anlatımı'dir
    İspat:
    14 - Türev Konu Anlatımı
    16 - Türev Konu Anlatımı
    17 - Türev Konu Anlatımı
    18 - Türev Konu Anlatımı
    19 - Türev Konu Anlatımı
    20 - Türev Konu Anlatımı
    21 - Türev Konu Anlatımı
    22 - Türev Konu Anlatımı
    23 - Türev Konu Anlatımı
    24 - Türev Konu Anlatımı
    25 - Türev Konu Anlatımı
    26 - Türev Konu Anlatımı
    27 - Türev Konu Anlatımı
    15 - Türev Konu Anlatımı



  2. #2
    türev konu anlatımı için teşekkürler.epey işime yaradı.
  3. #3
    kısmi türev kısmı canlı olmuş. saolun