sponsorlu bağlantılar
İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örneğinle bu kavram açıklanmaktadır.

Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama

Boş-olmayan bir veri-seti olarak
48 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu
49 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama olarak verilirse, ağırlıklı aritmetik ortalama için formül şu olur:
50 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül
51 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama olur.
Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.


Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazan sezgiyile kabul edilemiyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.

Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

Normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik aortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel normalize ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını 1e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formulünün paydası 1e eşit olur. Böylece payda
52 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur:
53 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama


Eğer x bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:

54 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Ağırlıklı aritmetik ortalama için pratik örneğin

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:

Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98 Ağırlıksız aritmetik ortalama sonucu, gündüz dersleri şubesi için 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alınırsa, bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani

55 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:

56 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

Conveks kombinasyon

Incelenen sorunda sadece oransal olarak verilen ağırlıklar bulkunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı 1e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.

Verilen sayısal örneğinde ağırlıklar oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:

57 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

58 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama 59 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Bu şöyle basitleştirilebilir:
60 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama


Varyans ağırlıklı aritmetik ortalama

Eğer her bir veri elemanı 61 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalamanin herbiri bilinen 62 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani

63 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama olarak seçilir. Eğer bu seçim yapilirsa, ortaya çıkan varyans ağırlıklı aritmetik ortalama şöyle ifade edililir:

64 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:

65 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Eğer herbir varyans sabit ise, yani 66 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle
yazılabilir:

67 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama. Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

Ağırlıklı geometrik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse

X = { x1, x2, ..., xn} ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani ağırlık fonksiyonu' şu ise:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı geometrik ortalama şöyle hesaplanır:

68 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

Ağırlıklı harmonik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:
X = { x1, x2, ..., xn} Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı harmonik ortalama şöyle hesaplanır:

69 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

Genel ağırlıklı ortalama kavramı

Genel kavramsal yaklaşım

Bir ağırlıklı ortalama M çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan
(). ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.


  • Sabit nokta: 70 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama
  • Homojenlik: 71 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama



(Vektör notasyonu kullanarak: 72 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama)

  • Monotonik fonksiyon: 73 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama



Sonuç olarak:

  • Üst sınırlılık: 74 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama
  • Devamlılık: 75 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama



Bir isbat eskizi: 76 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama ve 77 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama olduğu için sonuç olarak 78 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama.


  • Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz.
  • Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.



Ağırlıklı ortalamaya dönüşüm

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama M ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar
79 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama A şöyle elde edilebilir:

80 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama

Anakütle ve örneklem ortalamaları


Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının iyi bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş n büyüklükte bir örneklemin ortalamasının örneklem ortalama dağılımı şudur:
81 - Ağırlıklı Aritmetik Ortalama Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam karelernormal dağılım olmaktan çıkıp, n - 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.


sponsorlu bağlantılar